已知曲線C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(?1,0)與F2(1,0)的距離之和為4.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)曲線C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)M(?4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點(diǎn)(B在M、C之間),N為BC中點(diǎn).
(ⅰ)證明:k·kON為定值;
(ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直線l的方程,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2)(。;(ⅱ)不存在.
【解析】
試題分析:(1)由于曲線C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(?1,0)與F2(1,0)的距離之和為4,結(jié)合橢圓的定義可知曲線C是以兩定點(diǎn)F1(?1,0)和F2(1,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,從而可寫出曲線C的方程;
(2)由已知可設(shè)出過(guò)點(diǎn)直線l的方程,并設(shè)出直線l與曲線C所有交點(diǎn)的坐標(biāo);然后聯(lián)立直線方程與曲線C的方程,消去y就可獲得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理就可寫出兩交點(diǎn)模坐標(biāo)的和與積;(ⅰ)應(yīng)用上述結(jié)果就可以用k的代數(shù)式表示出弦的中點(diǎn)坐標(biāo),這樣就可求出ON的斜率,再乘以k就可證明k·kON為定值;(ⅱ)由F1N⊥AC,得kAC•kFN= ?1,結(jié)合前邊結(jié)果就可將此等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一個(gè)方程,解此方程,若無(wú)解,則對(duì)應(yīng)直線不存在,若有解,則存在且對(duì)應(yīng)直線方程很易寫出來(lái).
試題解析:(1)由已知可得:曲線C是以兩定點(diǎn)F1(?1,0)和F2(1,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,所以,故曲線C的方程為:. 4分
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線l的方程為y=k(x+4),設(shè)B(x1, y1),C(x2, y2)(x2>y2).
(ⅰ)聯(lián)立方程組,得,
則, 5分
故,, 7分
所以,所以k•kON=為定值. 8分
(ⅱ)若F1N⊥AC,則kAC•kFN= ?1,
因?yàn)镕1 (?1,0),故, 10分
代入y2=k(x2+4)得x2=?2?8k2,y2=2k ?8k3,而x2≥?2,故只能k=0,顯然不成立,所以這樣的直線不存在. 13分
考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)在軸上,若右焦點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在斜率為,且過(guò)定點(diǎn)的直線,使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),且?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省晉江市高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
一個(gè)單位有職工800人,其中具有高級(jí)職稱的160人,具有中級(jí)職稱的320人,具有初級(jí)職稱的200人,其余人員120人.為了解職工收入情況,決定采用分層抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是( )
A.12, 24, 15, 9 B.9, 12, 12, 7 C.8, 15, 12, 5 D.8, 16, 10, 6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省晉江市高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知為實(shí)數(shù),集合,表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x,則等于( )
A .1 B .0 C .-1 D .
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命題“,”的否定是( )
A.,≥0 B.,
C.,≥0 D.,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省等三校高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
將三個(gè)分別標(biāo)有A,B,C的球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,則1號(hào)盒子中有球的不同放法種數(shù)為_(kāi)_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省等三校高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,能被5整除的個(gè)數(shù)有( )
A.512 B.192 C.240 D.108
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省四地六校高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
由直線,曲線及軸所圍圖形的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),給出以下命題:
①當(dāng)時(shí),; ②函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn);
③對(duì)恒成立.
④若關(guān)于的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;
其中,正確命題的序號(hào)是 .
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