Question

已知向量

m

=（sin²x+

1+cos2x

2

，sinx），

n

=（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（1）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

6

），求f（x）的值域；
（3）已知cos（α-β）=

3

5

，cos（α+β）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求f（β）．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)f（x）=1-sin（2x+

π

6

），再由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

)，k∈Z；
（2）通過(guò)三角函數(shù)單調(diào)性直接求解即可；
（3）將2β分解成α+β-（α-β）然后利用兩角差的余弦公式求解β，代入函數(shù)f（x）即可．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（sin²x+

1+cos2x

2

，sinx）
=（sin²x+cos²x，sinx）
=（1，sinx），

n

=（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，2sinx），
∴f（x）=

m

•

n

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+2sin²x
=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=1-sin（2x+

π

6

），
由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

)，k∈Z．
（2）由（1）知，
f（x）=1-sin（2x+

π

6

），
在x∈[0，

π

6

）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
∵當(dāng)x=0時(shí)，x=

1

2

，
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，x=0．
∴f（x）的值域?yàn)?span id="e7q53tq" class="MathJye">(0，

1

2

]．
（3）∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴

π

2

＜α-β＜0，0＜α+β＜π
∴sin（α-β）＜0，sin（α+β）＞0．
∵cos（α-β）=

3

5

，cos（α+β）=-

3

5

，
sin（α-β）=-

4

5

，sin（α+β）=

4

5

．
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α+β）+sin（α+β）sin（α-β）
=-1，
∴β=

π

2

．
∴f(

π

2

)=1-sin(π+

π

6

)
=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算，三角恒等變換公式，三角函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．