Question

13．如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求直線DD₁與平面AB₁C所成角的正弦值；
（2）求平面AB₁C與平面AB₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DD₁與平面AB₁C所成角的正弦值．
（2）求出平面AB₁D₁的法向量和平面AB₁C的法向量，利用向量法能求出平面AB₁C與平面AB₁D₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則D（0，0，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
設直線DD₁與平面AB₁C所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{1•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線DD₁與平面AB₁C所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
設平面AB₁D₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
設平面平面AB₁C與平面AB₁D₁所成角為α，
∵平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴平面AB₁C與平面AB₁D₁所成角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查面面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．