13.如圖,在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A1B1C1D1
(1)求直線DD1與平面AB1C所成角的正弦值;
(2)求平面AB1C與平面AB1D1所成角的余弦值.

分析 (1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線DD1與平面AB1C所成角的正弦值.
(2)求出平面AB1D1的法向量和平面AB1C的法向量,利用向量法能求出平面AB1C與平面AB1D1所成角的余弦值.

解答 解:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,
設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,
則D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=(0,0,1),$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(0,1,1),$\overrightarrow{AC}$=(-1,1,0),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,-1),
設直線DD1與平面AB1C所成角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{1•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴直線DD1與平面AB1C所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(-1,0,1),$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(0,1,1),
設平面AB1D1的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-1,1),
設平面平面AB1C與平面AB1D1所成角為α,
∵平面AB1C的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,1,-1),
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$,
∴平面AB1C與平面AB1D1所成角的余弦值為$\frac{1}{3}$.

點評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查面面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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