Question

2．已知$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是非零向量，f（x）=$（\overrightarrow{a}x-\overrightarrow）•（\overrightarrowx-\overrightarrow{a}）$．
①若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，證明f（x）為奇函數(shù)
②若f（0）=3，f（x+2）=f（2-x），求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 ①化簡(jiǎn)$f（x）=（{\overrightarrow ax-\overrightarrow b}）（{\overrightarrow bx-\overrightarrow a}）=\overrightarrow a•\overrightarrow b{x^2}-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x+\overrightarrow a•\overrightarrow b$，從而可得$f（x）=-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x$，從而證明；
②由題意得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，-$\frac{-（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}）}{2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=2，從而解得．

解答 解：①∵$f（x）=（{\overrightarrow ax-\overrightarrow b}）（{\overrightarrow bx-\overrightarrow a}）=\overrightarrow a•\overrightarrow b{x^2}-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x+\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$f（x）=-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x$，
故f（-x）=-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$）（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)．
②∵f（0）=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，
∵f（x+2）=f（2-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，
故-$\frac{-（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}）}{2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=2，

故${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$=12，
故|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．