Question

12．函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+x）$的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），值域?yàn)閇2，+∞）．

Answer 1

分析 令t=-x²+x＞0，求得函數(shù)的定義域，f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$，本題即求函數(shù)t在定義域（0，1）上的增區(qū)間和值域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：令t=-x²+x＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$，
本題即求函數(shù)t在定義域（0，1）上的增區(qū)間和值域．
∵t=-x²+x 在定義域（0，1）上的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），
故函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+x）$的單調(diào)遞減區(qū)間是 $（0，\frac{1}{2}）$．
再根據(jù)t=-x²+x=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，可得t在（0，1）上的最大值為$\frac{1}{4}$，t的最小值趨于零，
故f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$∈[2，+∞），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）、[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．