Question

18．在[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”發(fā)生的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)不等式，確定滿足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$且在區(qū)間[0，π]內(nèi)x的范圍，根據(jù)幾何概型利用長(zhǎng)度之比可得結(jié)論．

解答 解：∵2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sinx+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]內(nèi)，滿足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，
x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴在區(qū)間[0，π]內(nèi)，滿足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]；
∴事件“2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”發(fā)生的概率為
P=$\frac{\frac{5π}{12}-\frac{π}{12}}{π-0}$=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．