Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的漸近線與（x-2）²+y²=3相切，可得圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：取雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0．
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的漸近線與（x-2）²+y²=1相切，
∴圓心（2，0）到漸近線的距離d=r，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{3}$，化為2b=$\sqrt{3}$c，
兩邊平方得3c²=4b²=4（c²-a²），化為c²=4a²．
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的漸近線及其離心率、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的性質(zhì)扥個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．