Question

【題目】已知函數.

(1)求證:當時,對任意恒成立;

(2)求函數的極值;

(3)當時,若存在且,滿足,求證:.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)極小值,無極大值. (3)見解析

【解析】

（1）求導得到，即，函數單調遞增，得到證明.

（2），討論和兩種情況，分別計算極值得到答案.

（3）在上為增函數，當時不成立，不防設

，計算得到，即證，設,只需證，計算最值得到證明.

(1)

,,

在上為增函數,

所以當時,恒有成立;

(2)由

當在上為增函數,無極值

當

在上為減函數,在上為增函數,

有極小值,無極大值,

綜上知:當無極值,

當有極小值,無極大值.

(3)當在上為增函數,

由(2)知,當,在上為增函數,

這時,在上為增函數,

所以不可能存在,

滿足且

所以有

現(xiàn)不防設得:

①

②

由①②式可得:

即

又

③

又要證即證

即證……④

所以由③式知,只需證明:即證

設,只需證,即證:

令

由在上為增函數,

成立,

所以由③知,成立,

所以成立.