Question

9．在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，AD=3，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值是8．

Answer 1

分析 由已知條件便可得到$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，從而$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）=2，運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：根據(jù)條件：$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=2$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$）
=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$$\overrightarrow{AB}$²=2
=9-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$×16，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量加法的幾何意義，共線向量基本定理，相等向量的概念，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．