Question

15．在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C：ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=1，過(guò)極點(diǎn)O作射線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)Q，在射線(xiàn)OQ上取一點(diǎn)P，使|OP|•|OQ|=$\sqrt{2}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C₁的極坐標(biāo)方程；
（2）以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，若直線(xiàn)l：y=-$\sqrt{3}$x與（1）中的曲線(xiàn)C₁相交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)O），與曲線(xiàn)C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）相交于點(diǎn)F，求|EF|的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ•ρ′=$\sqrt{2}$，又曲線(xiàn)C：ρ′cos（θ+$\frac{π}{4}$）=1，代入化簡(jiǎn)即可得出．
（2）由曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)t化為普通方程：x+y=$\frac{1}{2}$，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．由直線(xiàn)l：y=-$\sqrt{3}$x可得：極坐標(biāo)方程：$θ=\frac{2π}{3}$（ρ∈R）．分別與曲線(xiàn)C₂及其曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解；（1）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ•ρ′=$\sqrt{2}$，又曲線(xiàn)C：ρ′cos（θ+$\frac{π}{4}$）=1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{ρ}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ（θ+$\frac{π}{4}$）=1，
∴ρ=cosθ-sinθ．即為點(diǎn)P的軌跡C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）曲線(xiàn)C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：x+y=$\frac{1}{2}$，可得極坐標(biāo)方程：ρ（cosθ+sinθ）=$\frac{1}{2}$．由直線(xiàn)l：y=-$\sqrt{3}$x可得：極坐標(biāo)方程：$θ=\frac{2π}{3}$或$θ=-\frac{π}{3}$．
把$θ=\frac{2π}{3}$代入曲線(xiàn)C₂可得：ρ₂=$\frac{\frac{1}{2}}{cos\frac{2π}{3}+sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+1）．
把$θ=\frac{2π}{3}$代入曲線(xiàn)C₁可得：ρ₁=$cos\frac{2π}{3}$+sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
∴|EF|=ρ₂-ρ₁=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．