Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|，g（x）=a|x|-1．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式f（x）≤3，等價(jià)于 0≤x²≤4，由此求得x的范圍．
（Ⅱ）由題意可得 a|x|≤|x²-1|+1 ①恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，①顯然成立．當(dāng)x≠0時(shí)，分|x|＞1、0＜|x|≤1兩種情況，分別求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等價(jià)于|x²-1|≤3，即-3≤x²-1≤3，即 0≤x²≤4，故有-2≤x≤2．
（Ⅱ）f（x）≥g（x）對任意x∈R恒成立，即|x²-1|≥a|x|-1，即a|x|≤|x²-1|+1 ①，
當(dāng)x=0時(shí)，①顯然成立．
當(dāng)x≠0時(shí)，若|x|＞1，①即 a|x|≤x²-1+1=x²，∴a≤|x|恒成立，故a≤1．
當(dāng)0＜|x|≤1時(shí)，①即a|x|≤1-x²+1，∴a≤$\frac{2{-x}^{2}}{|x|}$=$\frac{2}{|x|}$-|x|恒成立，∴a≤2-1=1．
綜上可得，a≤1．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．