Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$．求
（1）函數(shù)f（x）的最值及對應(yīng)自變量的取值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦化簡，由相位的終邊分別落在y軸的正半軸和負(fù)半軸求得答案；
（2）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}$，得：$f（x）=sin（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$，
當(dāng)$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{4π}{3}+4kπ$，k∈Z時，y_max=1；
當(dāng)$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=-\frac{2π}{3}+4kπ$，k∈Z時，y_min=-1．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{2π}{3}+4kπ≤x≤\frac{4π}{3}+4kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{-\frac{2π}{3}+4kπ，\frac{4π}{3}+4kπ}]（k∈Z）$；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{4π}{3}+4kπ≤x≤\frac{10π}{3}+4kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{\frac{4π}{3}+4kπ，\frac{10π}{3}+4kπ}]$（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．