Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx（b≠0）．
（1）討論g（x）的單調(diào)性
（2）若對任意x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用導數(shù)的正負，討論g（x）的單調(diào)性即可；
（2）對任意x∈（1，2），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，f（x）∈（ln2-2，-1），根據(jù)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的范圍，即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，
∴g'（x）=b（x²-1），
當b＜0時，g'（x）＞0，-1＜x＜1，f（x）遞增，遞增區(qū)間為（-1，1），遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當b＞0時，g'（x）＜0，-1＜x＜1，f（x）遞減，遞減區(qū)間為（-1，1），遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lnx-x，
∴對任意x∈（1，2），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）∈（ln2-2，-1），
當b＜0時，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx在（1，2）上單調(diào)遞減，∴g（x）∈（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
由題意，（ln2-2，-1）⊆（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，-$\frac{2}{3}$b≥-1
∴b≤$\frac{3}{2}$ln2-3．
當b＞0時，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx在（1，2）上單調(diào)遞增，∴g（x）∈（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
由題意，（ln2-2，-1）⊆（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，$\frac{2}{3}$b≥-1
∴b≥3-$\frac{3}{2}$ln2．

點評 本題考查了利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和對恒成立問題的理解．