4.若關于x的不等式m<$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$有且僅有兩個整數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍為( 。
A.$(\frac{1}{2e-1},1)$B.$(\frac{e^2}{{2{e^2}-1}},1)$C.$[\frac{1}{2e-1},1)$D.$[\frac{e^2}{{2{e^2}-1}},1)$

分析 構造函數(shù)f(x)=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$,利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間,在根據(jù)兩個函數(shù)的圖象得到不等式關系進行求解即可

解答 解:令f(x)=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$,f′(x)=$\frac{{e}^{x}(2-x-{e}^{x})}{(x{e}^{x}-x+1)^{2}}$,
令f′(x)=0⇒2-x-ex=0,令g(x)=2-x-ex,g′(x)=-1-ex<0,恒成立,所以g(x)單調遞減,由因為g(0)>0,g(1)<0
所以存在x0∈(0,1)使f′(x0)=0,∴x∈(-∞,x0),f(x)遞增,x∈(,x0,+∞),f(x)遞減,
若m<f(x)解集中的整數(shù)恰為2個,
則x=0,1是解集中的2個整數(shù),
故只需$\left\{\begin{array}{l}{m<f(0)=1}\\{m<f(1)=1}\\{m≥f(2)=\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}}\\{m≥f(-1)=\frac{1}{2e-1}}\end{array}\right.$⇒$\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}≤m<1$.
故選:D.

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用,根據(jù)不等式整數(shù)根的個數(shù),結合數(shù)形結合建立不等式關系是解決本題的關鍵.綜合性較強,有一定的難度.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

14.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦點為F1、F2,點F1關于直線y=-x的對稱點P在橢圓上,則△PF1F2的周長為4+2$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)F(x)=xlnx.
(1)求這個函數(shù)的圖象在點x=e處的切線方程.
(2)若方程F(x)-t=0在x∈[e-2,1]上有兩個不相等的實數(shù)根,求t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,試求a,b的值;
(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.設命題p:函數(shù)y=ax+2在R上為減函數(shù),命題q:曲線y=x2+ax+1與x軸交于不同的兩點.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.已知a,b,c為△ABC的內角A,B,C的對邊,滿足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$,函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,$\frac{π}{3}$]上單調遞增,在區(qū)間[$\frac{π}{3}$,π]上單調遞減.
(1)證明:b+c=2a;
(2)若f($\frac{π}{9}$)=cos A,試判斷△ABC的形狀.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.設函數(shù)f(x)=ex+3x(x∈R),則f ( x )(  )
A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

13.求曲線y=x2與y2=x所圍成封閉圖形的面積,其中正確的是( 。
A.S=${∫}_{0}^{1}$($\sqrt{x}$-x2)dxB.S=${∫}_{0}^{1}$(y2-$\sqrt{x}$)dxC.S=${∫}_{0}^{1}$(x2-$\sqrt{x}$)dxD.S=${∫}_{0}^{2}$($\sqrt{y}$-y2)dy

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

14.在平面直角坐標系中,已知平行四邊形ABCD的三個頂點為A(0,0),B(1,1),C(2,-1),則點D的坐標為(1,-2).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案