Question

12．對任意x＞0，不等式x+$\frac{1}{x+2a}$＞a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 令f（x）=x-a+$\frac{1}{x+2a}$（x＞0），f′（x）=$\frac{[x-（-2a-1）][x-（-2a+1）]}{（x+2a）^{2}}$，對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：令f（x）=x-a+$\frac{1}{x+2a}$（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{（x+2a）^{2}}$=$\frac{[x-（-2a-1）][x-（-2a+1）]}{（x+2a）^{2}}$，
當a≥$\frac{1}{2}$時，0＞-2a+1＞-2a-1，∴f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=-a+$\frac{1}{2a}$≥0，解得$\frac{1}{2}≤a≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$時，-2a+1＞0＞-2a-1，∴x=-2a+1時，此時函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，∴f（x）≥f（-2a+1）=-3a+1+1＞0，解得$-\frac{1}{2}≤a＜\frac{1}{2}$．
當$a＜-\frac{1}{2}$時，-2a+1＞-2a-1＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，-2a-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-2a-1，-2a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-2a+1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴必有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a+\frac{1}{2a}≥0}\\{f（-2a+1）≥0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a$＜-\frac{1}{2}$．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
故答案為：$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．