Question

2．已知A、B是單位圓O上的兩點，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{AC}$，∠OAB=60°，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，根據條件可以得到OA=1，OB=1，∠AOB=60°，而由$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}$可以得到$\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，這樣進行向量數(shù)量積的運算便可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的值．

解答 解：如圖，OA=OB=1；

∵∠OAB=60°；
∴△OAB為等邊三角形，∠AOB=60°；
由$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}$得，$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=2（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•（\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}）$
=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•1•1•cos60°$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$
=$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點評 考查單位圓的概念，有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，以及向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算及其計算公式．