Question

3．已知f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處的切線平行，求x₀的值；
（2）當(dāng)曲線y=f（x）與y=g（x）有公切線時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx，知x＞0，f′（x）=6x-1，g′（x）=$\frac{1}{x}$，由函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處的切線平行，知6x₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，由此能求出x₀的值；
（2）公切線的存在問題轉(zhuǎn)化為m=$3{{x}_{1}}^{2}-ln（6{x}_{1}-1）-1$有解的問題即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx，
∴x＞0，f′（x）=6x-1，g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x₀處的切線平行，
∴6x₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
解得x₀=-$\frac{1}{3}$（舍），x₀=$\frac{1}{2}$．
故x₀=$\frac{1}{2}$…（4分）
（2）設(shè)兩曲線的公切線為l，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{3{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}+m-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6x₁-1=$\frac{1}{{x}_{2}}$，化簡消去x₂得m=$3{{x}_{1}}^{2}-ln（6{x}_{1}-1）-1$，
于是公切線的存在問題轉(zhuǎn)化為上面方程有解的問題，
令h（x）=3x²-ln（6x-1）-1，則h′（x）=$\frac{6（2x-1）（3x+1）}{6x-1}$（其中x＞$\frac{1}{6}$），
由此x=$\frac{1}{2}$時，[h（x）]_min=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$-ln2，
∴m≥-$\frac{1}{4}$-ln2時，曲線y=f（x）與y=g（x）有公切線…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法，考查函數(shù)的最小值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．