【題目】已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：若a＜5，則對任意 ，有 ．

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

，

∵a﹣1≥1

當(dāng)a﹣1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（a﹣1，+∞）；

單調(diào)減區(qū)間為（1，a﹣1）．

當(dāng)a﹣1=1時，即a=2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）


（2）要證：對任意 ，

有 ．

不防設(shè)x1＞x2，

即證f（x1）﹣f（x2）＞﹣（x1﹣x2）

即證f（x1）+x1＞f（x2）+x2

設(shè) ，x＞0

即證當(dāng)x1＞x2時，g（x1）＞g（x2）．

即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

∵

而△=（a﹣1）2﹣4（a﹣1）=（a﹣1）（a﹣5）

又∵2≤a＜5，

∴△＜0，

∴x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0恒成立，

∴ 對x∈（0，+∞）恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

∴原題得證．


【解析】（1）由 ，得當(dāng)a﹣1＞1時，即a＞2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（a﹣1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，a﹣1）．當(dāng)a﹣1=1時，即a=2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）（2）要證：對任意 ，有 ．即證f（x1）+x1＞f（x2）+x2設(shè) ，x＞0，即證g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．由 ，由g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，從而原題得證．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點為動直線與橢圓的兩個交點，問:在軸上是否存在定點,使得為定值？若存在，試求出點的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題：
①f（x）=x3﹣3x2是增函數(shù)，無極值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上沒有最大值
③由曲線y=x，y=x2所圍成圖形的面積是
④函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2）
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f (x)＝ex－ax－1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．

（1）若a＝e，函數(shù)g (x)＝(2－e)x．

①求函數(shù)h(x)＝f (x)－g (x)的單調(diào)區(qū)間；

②若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若存在實數(shù)x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，

求證：e－1≤a≤e2－e．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)P和0是兩個集合，定義集合PQ={x|x∈P，且x≠Q(mào)}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么PQ等于 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究小組到社區(qū)了解參加健美操運動人員的情況，用分層抽樣的方法抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，按照年齡分成五個小組： ，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求該社區(qū)參加健美操運動人員的平均年齡；

（2）如果研究小組從該樣本中年齡在和的6人中隨機(jī)地抽取出2人進(jìn)行深入采訪，求被采訪的2人，年齡恰好都在內(nèi)的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A.（0，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D.（3，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知全集 U=R，集合 A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜log2 x＜4}．
（1）求A∪B；
（2）求（UA ）∩B．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x

3

﹣2

4

y

﹣2

0

﹣4


（1）求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請問是否存在直線l滿足條件：①過C2的焦點F；②與C1交不同兩點M、N且滿足 ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案