【題目】已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上取兩個點,將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x | 3 | ﹣2 | 4 | |
y | ﹣2 | 0 | ﹣4 |
(1)求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)請問是否存在直線l滿足條件:①過C2的焦點F;②與C1交不同兩點M、N且滿足 ?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有 ,據(jù)此驗證4個點知(3,﹣2 )、(4,﹣4)在拋物線上,易求C2:y2=4x
設(shè)C1: ,把點(﹣2,0)( )代入得:
解得
∴C1方程為
(2)解:容易驗證直線l的斜率不存在時,不滿足題意;
當(dāng)直線l斜率存在時,假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F(1,0),
設(shè)其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2)
由 消掉y,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,
于是 , ①
y1y2=k(x1﹣1)×k(x1﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]
即 ②
由 ,即 ,得x1x2+y1y2=0(*),
將①、②代入(*)式,得 ,解得k=±2;
所以存在直線l滿足條件,且l的方程為:y=2x﹣2或y=﹣2x+2.
【解析】(1)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有 ,據(jù)此驗證4個點知(3,﹣2 )、(4,﹣4)在拋物線上,易求C2:y2=4x,設(shè)C1: ,把點(﹣2,0)( )代入得: ,由此能夠求出C1方程.(2)容易驗證直線l的斜率不存在時,不滿足題意;當(dāng)直線l斜率存在時,假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F(1,0),
設(shè)其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標(biāo)為M(x1 , y1),N(x2 , y2),由 消掉y,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,再由韋達(dá)定理能夠?qū)С龃嬖谥本l滿足條件,且l的方程為:y=2x﹣2或y=﹣2x+2.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:若a<5,則對任意 ,有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究心理健康與是否是留守兒童的關(guān)系,某小學(xué)在本校四年級學(xué)生中抽取了一個110人的樣本,其中留守兒童有40人,非留守兒童有70人,對他們進(jìn)行了心理測試,并繪制了如圖的等高條形圖,試問:能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為心理健康與是否是留守兒童有關(guān)系?
參考數(shù)據(jù):
P(K2>k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= (n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角△ABC,AB=AC=3,P,Q分別為邊AB,BC上的點,M,N是平面上兩點,若 + =0,( + ) =0, =3 ,且直線MN經(jīng)過△ABC的外心,則 =( )
A.
B.
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)),記的導(dǎo)函數(shù)為.
(1) 證明:當(dāng)時, 在上的單調(diào)函數(shù);
(2)若在處取得極小值,求的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的定義域為,區(qū)間.若在上是單調(diào)函數(shù),則稱在上廣義單調(diào).試證明函數(shù)在上廣義單調(diào).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)、是函數(shù) 的兩個極值點.
(1)若,求函數(shù)的解析式;
(2)若,求的最大值;
(3)設(shè)函數(shù),,當(dāng)時,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t.市場價格x(單位:千元)與市場供應(yīng)量p(單位:萬件)之間近似滿足關(guān)系式:,其中k.b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率為75%時,若市場價格為5千元,則市場供應(yīng)量約為1萬件;若市場價格為7千元,則市場供應(yīng)量約為2萬件.
(1)試確定k.b的值;
(2)市場需求量q(單位:萬件)與市場價格x近似滿足關(guān)系式:.P = q時,市場價格稱為市場平衡價格.當(dāng)市場平衡價格不超過4千元時,試確定關(guān)稅稅率的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一解三角形的題目因紙張破損,有一條件不清,具體如下:在△ABC中,已知a= ,2cos2 =( ﹣1)cosB,c= , 求角A,若該題的答案是A=60°,請將條件補充完整.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個盒子中裝有5張編號依次為1,2,3,4,5的卡片,這5張卡片除號碼外完全相同,現(xiàn)進(jìn)行有放回的連續(xù)抽取兩次,每次任意地取出一張卡片.
(1)求出所有可能結(jié)果數(shù),并列出所有可能結(jié)果;
(2)求條件“取出卡片的號碼之和不小于7或小于5”的概率.
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