Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=exsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的 ，f（x）≥kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+excosx， ，過(guò)點(diǎn) 作函數(shù)F（x）的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn}，求數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex（sinx+cosx）= ，

∴f（x）的增區(qū)間為 ；減區(qū)間為 ．

（2）解：令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx

要使f（x）≥kx恒成立，只需當(dāng) 時(shí)，g（x）min≥0，

∵g'（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），則h'（x）=2excosx≥0對(duì) 恒成立，

∴h（x）在 上是增函數(shù)，則 ，

①當(dāng)k≤1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，g（x）在 上為增函數(shù)，

∴g（x）min=g（0）=0，∴k≤1滿足題意；

②當(dāng) 時(shí)，g'（x）=0在 上有實(shí)根x0，h（x）在 上是增函數(shù)，

則當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合題意；

③當(dāng) 時(shí)，g'（x）≤0恒成立，g（x）在 上為減函數(shù)，

∴g（x）＜g（0）=0不符合題意∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]．

（3）解：∵F（x）=f（x）+excosxex（sinx+cosx）∴F'（x）2excosx

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則切線斜率為

從而切線方程為 = ，

∴ ，

令y1=tanx， ，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，

則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于 對(duì)稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}的項(xiàng)也關(guān)于 成對(duì)出現(xiàn)，

又在 共有1008對(duì)，每對(duì)和為π；

∴S=1008π．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）令g（x）=f（x）﹣kx，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）min≥0，令h（x）=ex（sinx+cosx），通過(guò)討論k的范圍求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可；（3）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，分別令y1=tanx， ，得到這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，從而求出數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．