Question

6．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線x=4與x軸交于點(diǎn)R，與拋物線交于點(diǎn)S，且$|{FS}|=\frac{5}{4}|{RS}|$
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，作垂直于y軸的直線l，P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（異于l與C的交點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P的切線交l于點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，求證：$\frac{{|{FA}|}}{{|{FM}|}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得R，S的坐標(biāo)，運(yùn)用拋物線的定義和解方程可得p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)P的切線方程，進(jìn)一步求出A，M的坐標(biāo)，代入$\frac{{|{FA}|}}{{|{FM}|}}$得答案．

解答 （1）解：拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{p}{2}$），
準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，由題意可得R（4，0），S（4，$\frac{8}{p}$），
則|RS|=$\frac{8}{p}$，|SF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
由|FS|=$\frac{5}{4}$|RS|，可得$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}$•$\frac{8}{p}$，解得：p=2，
則拋物線的方程為x²=4y；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），由$y=\frac{1}{4}{x}^{2}$，得y′=$\frac{1}{2}x$，
則$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{2}{x}_{0}$，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為$y-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，
取y=1，得${x}_{A}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+4}{2{x}_{0}}$．
取y=-1，得$x=\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{2{x}_{0}}$，∴M（$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{2{x}_{0}}$，-1），
∴|FM|=$\sqrt{（\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{2{x}_{0}}）^{2}+4}$=$\sqrt{（\frac{{{x}_{0}}^{2}+4}{2{x}_{0}}）^{2}}$=$|\frac{{{x}_{0}}^{2}+4}{2{x}_{0}}|$．
∴$\frac{{|{FA}|}}{{|{FM}|}}$=$\frac{|\frac{{{x}_{0}}^{2}+4}{2{x}_{0}}|}{|\frac{{{x}_{0}}^{2}+4}{2{x}_{0}}|}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．