Question

17．設(shè)定點(diǎn)F₁（2，0），F(xiàn)₂（-2，0），平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足條件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4a+\frac{1}{a}（a＞0）$，則點(diǎn)P的軌跡是（　�。�

• A． 橢圓
• B． 雙曲線
• C． 線段
• D． 橢圓或線段

Answer 1

分析 由于 4a+$\frac{1}{a}$≥4，當(dāng)4a+$\frac{1}{a}$=4時(shí)，滿足|PF₁|+|PF₂|=|F₁ F₂|的點(diǎn)P的軌跡是線段F₁F₂，4a+$\frac{1}{a}$＞4時(shí)，滿足|PF₁|+|PF₂|=4a+$\frac{1}{a}$＞|F₁ F₂|的點(diǎn)P的軌跡是橢圓．

解答 解：∵a＞0，4a+$\frac{1}{a}$≥4．
故當(dāng)4a+$\frac{1}{a}$=4時(shí)，滿足條件|PF₁|+|PF₂|=4a+$\frac{1}{a}$=|F₁ F₂|的點(diǎn)P的軌跡是線段F₁F₂ ．
當(dāng)4a+$\frac{1}{a}$＞4時(shí)，滿足條件|PF₁|+|PF₂|=4a+$\frac{1}{a}$（a＞0）的點(diǎn)P的軌跡是以F₁、F₂ 為焦點(diǎn)的橢圓．
故選 D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，判斷4a+$\frac{1}{a}$≥4是解題的關(guān)鍵．