Question

8．已知函數(shù)g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0）的圖象如圖所示，函數(shù)$f（x）=g（x）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{3}{2}sin2x$
（1）如果${x_1}，{x_2}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，且g（x₁）=g（x₂），求g（x₁+x₂）的值；
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)g（x）的解析式，再化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）；
（1）利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算${x_1}，{x_2}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$時(shí)x₁+x₂的值，從而求出g（x₁+x₂）的值；
（2）求出$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$時(shí)2x的取值范圍，再求函數(shù)f（x）的最值．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)g（x）=Asin（ωx+φ）中，A=1，
T=2×（$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$））=π，∴ω=2，
又函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0），
即2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
∴函數(shù)$f（x）=g（x）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{3}{2}sin2x$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）
=2cos2x；
（1）當(dāng)${x_1}，{x_2}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，且g（x₁）=g（x₂），
∴$\frac{{（2x}_{1}+\frac{π}{3}）+（{2x}_{2}+\frac{π}{3}）}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{6}$，
∴g（x₁+x₂）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
-$\frac{1}{2}$≤cos2x≤1，
∴當(dāng)2x=$\frac{2π}{3}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值2，
當(dāng)2x=0，即x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．