Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點P（x，y），Q（x，-2），且以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O．
（1）求動點P的軌跡C；
（2）過點M（0，-2）的直線l與軌跡C交于兩點A、B，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，試問直線A′B是否恒過一定點，若是，并求此定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，可得

OP

•

OQ

=0，即可得出；
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（-x₁，y₁）．與拋物線方程聯(lián)立可得x²-2kx+4=0，由△＞0，可得k＞2或k＜-2．得到根與系數(shù)的關(guān)系，而直線直線A′B的方程為：y-y1=

y2-y1

x2+x1

（x+x₁），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得2y=（x₂-x₁）x+4，令x=0，即可得出直線恒過定點．

解答： 解：（1）∵以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，
∴

OP

•

OQ

=0，
∴（x，y）•（x，-2）=x²-2y=0，
化為x²=2y，
∴動點P的軌跡C為拋物線：x²=2y．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（-x₁，y₁）．
聯(lián)立

y=kx-2 x2=2y

，
化為x²-2kx+4=0，
△=4k²-16＞0，
解得k＞2或k＜-2．
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=4．
直線直線A′B的方程為：y-y1=

y2-y1

x2+x1

（x+x₁），
又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴2ky-2k（kx₁-2）=（kx₂-kx₁）x+kx₁x₂-k

x

2 1

，
化為2y=（x₂-x₁）x+x₁（2k-x₁），
∵x₁（2k-x₁）=4，
∴2y=（x₂-x₁）x+4，
令x=0，則y=2，
∴直線A′B恒過一定點（0，2）．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．