Question

16．（Ⅰ）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+2x．另一個函數(shù)y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[$\frac{1}，\frac{1}{a}$]，其中a≠b，a，b≠0．在x∈[a，b]上，g（x）=f（x）．求a，b．
（Ⅱ）b，c∈R，二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c在（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，求c²+（1+b）c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，這表明 $\left\{\begin{array}{l}{a＜b}\\{\frac{1}＜\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，可見a，b同號．當(dāng)a，b＞0時，考慮以下三種情況：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，即函數(shù)f（x）=x²+bx+c的兩個零點為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）容易求出奇函數(shù)y=f（x）的解析式為：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x，（x≥0）}\\{{x}^{2}+2x，（x＜0）}\end{array}\right.$，
函數(shù)g（x）的定義域為[a，b]，值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，其中a≠b，a、b≠0，
這表明 $\left\{\begin{array}{l}{a＜b}\\{\frac{1}＜\frac{1}{a}}\end{array}\right.$
可見a、b同號．也就是說y=g（x），x∈[a，b]的圖象在第一或第三象限內(nèi)．
根據(jù)f（x）=g（x）（x∈[a，b]以及f（x）的圖象可知，函數(shù)g（x）的圖象如所示曲線的一部分：

值域與函數(shù)的單調(diào)狀況有關(guān)，又與定義域有關(guān)．如果只考慮0＜a＜b＜2或-2＜a＜b＜0兩種情況，
不能準(zhǔn)確地用a、b表示出值域區(qū)間的端點，因此要把區(qū)間（0，2），（-2，0）再分細(xì)一些，
由圖中看出，當(dāng)a、b＞0時，考慮以下三種情況較好：
0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．
如果0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b，那么$\frac{1}{a}$＞1．但是x∈（0，1]時，f（x）≤1，
這與g（x）的值域區(qū)間[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]的右端點大于1矛盾．可見不出現(xiàn)0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b的情形．
如果1≤a＜b＜2，由圖看出g（x）是減函數(shù)，
可見$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}=g（b）={-b}^{2}+2b}\\{\frac{1}{a}=g（a）={-a}^{2}+2a}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）{（a}^{2}-a-1）=0}\\{（b-1）{（b}^{2}-b-1）=0}\end{array}\right.$，
考慮到1≤a＜b＜2的條件，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
完全類似地，考慮到-1≤a＜b＜0，-2＜a＜-1＜b＜0，-2＜b＜a≤-1三種情況后，
可以在-2＜b＜a≤-1的情況下通過值域條件得出$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
綜合有：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的零點為x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
則：f（0）=c=x₁x₂＞0，
f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）=1+b+c＞0
f（0）f（1）=c²+bc+c=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜（ $\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}$）²•（ $\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴0＜c²+（1+c）b＜$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．