Question

4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2），M、N分別是BD和BC中點(diǎn)．
（1）若E為線段AN上任意一點(diǎn)，求證：ME⊥BD；
（2）若θ=$\frac{π}{3}$，求AB與平面BCD所成角的正弦值．
（3）P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得$\frac{AP}{PB}$=$\frac{NQ}{QD}$=λ（λ∈R）．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ₁和θ₂．求sinθ₁+sinθ₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)N，連接AN交BD于M，利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面AMN即可．
（2）得到∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ，根據(jù)線面角的定義得到∠ABH是AB與平面BCD所成角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)條件得到θ₁+θ₂=$\frac{π}{2}$，利用消元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）取BC的中點(diǎn)N，連接AN交BD于M，
∵BC=2AD=2AB=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形ABND是正方形，
∴AM⊥BD，MN⊥BD，
∵AM∩MN=M，
∴BD⊥平面AMN，
∵M(jìn)E?平面AMN，
∴BD⊥ME，
解：（2）若θ=$\frac{π}{3}$，由（1）知∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ，
若θ=∠AMN=$\frac{π}{3}$，從而△AMN為等邊三角形，
取MN的中點(diǎn)H，連接AH，
則AH⊥平面BCD，
連接BH，
則∠ABH是AB與平面BCD所成角，
則AB=$\sqrt{2}$，AM=MH=AN=1，
則AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則sin∠ABH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
解：（3）在BN線段取點(diǎn)R使得$\frac{AP}{PB}=\frac{NR}{RB}=\frac{NQ}{QD}=λ（λ∈R）$
從而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ₁=∠PQR，θ₂=∠QPR
另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，從而θ=∠AMN．
∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，
∴BD⊥AN，
∵PR∥AN，RQ∥BD，
∴∠PRQ=$\frac{π}{2}$，
從而有θ₁+θ₂=$\frac{π}{2}$，
則sinθ₁+sinθ₂=sinθ₁+cosθ₁=$\sqrt{2}$sin（θ₁+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查線面垂直的應(yīng)用，線面角的求解，以及立體幾何與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．