Question

15．在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{6}}$）=1，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=-\sqrt{3}+2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．則直線l與圓C相交所得弦長為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分別把直線的極坐標方程化為直角坐標方程、圓的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離d，利用弦長公式：弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-hl7vphp^{2}}$，即可得出．

解答 解：直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{6}}$）=1，
展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，化為直角坐標方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=-\sqrt{3}+2sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），
化為普通方程：$（x-2）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，可得圓心$（2，-\sqrt{3}）$，半徑r=2．
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2-3-2|}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴直線l與圓C相交所得弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-lh7dphr^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．