Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，且bsin（A-C）-csin（A-B）=a．
（1）求B與C的大小；
（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，化簡求解三角形為等腰三角形，利用二倍角公式求出A，然后求解B、C的值．
（2）求出三角形邊長，然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）在△ABC中，bsin（A-C）-csin（A-B）=a，可得sinBsin（A-C）=sinCsin（A-B），
sinBsinAcosC-sinBcosAsinC=sinCsinAcosB-sinCcosAsinB．
可得sinBsinAcosC=sinCsinAcosB，
即：sinBcosC=cosBsinC，
可得sin（B-C）=0，
∴B=C，三角形是等腰三角形．
sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，
可得sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
cosA=1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-2×$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
則B=C=$\frac{3π}{8}$．
（2）由（1）A=$\frac{π}{4}$，
可得$\frac{a}{sinA}=2R$，a=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，
可得cos$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$，
A到BC邊上的高為：$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{tan\frac{A}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
三角形的面積為：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算能力．