Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD，BC=4，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且$\frac{BE}{EC}=λ$．
（Ⅰ）求證：DM∥平面PAB；  
（Ⅱ）求證：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{2}{3}$？若存在，試求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DM∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面ADM的一個(gè)法向量和平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量法能證明平面ADM⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…（1分）
由題意得，D（0，2，0），C（2，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），A（0，0，0），B（2，0，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，0，1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}$=0，DM?平面PAB，
∴DM∥平面PAB．． …（4分）
解：（Ⅱ）設(shè)平面ADM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x+2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（2，4，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=2x+4y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=0，
∴平面ADM⊥平面PBC．…（8分）
（Ⅲ）存在符合條件的λ．
設(shè)E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，t-2，0），
設(shè)平面PDE的法向量為$\overrightarrow{q}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{PD}=-2b+2c=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DE}=2a+（t-2）b=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{q}$=（2-t，2，2），
又平面DEB即為xAy平面，其法向量$\overrightarrow{v}$=（0，0，1），
則∵二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{2}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{q}，\overrightarrow{v}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{q}|•|\overrightarrow{v}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{（2-t）^{2}+8}}$=$\frac{2}{3}$，
解得t=3或t=1，進(jìn)而λ=3或λ=$\frac{1}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求．