Question

2．若點P（x，y）在圓x²+y²-2x-2y+1=0上，則$\frac{x+1}{y}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 $\frac{x+1}{y}$表示圓上的點（x，y）與點A（-1，0）連線的斜率的倒數(shù)．設過點A的圓的切線斜率為k，用點斜式求得圓的切線方程，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得k的最大值，從而求得$\frac{1}{k}$的最小值．

解答 解：圓x²+y²-2x-2y+1=0，即圓（x-1）²+（y-1）² =1，表示以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．
而$\frac{x+1}{y}$表示圓上的點（x，y）與點A（-1，0）連線的斜率的倒數(shù)．
設過點A的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y-0=k（x+1），即 kx-y+k=0．
再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，可得$\frac{|k-1+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=0或 k=$\frac{4}{3}$，
故k的最大值為$\frac{4}{3}$，∴$\frac{1}{k}$的最小值為$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查圓的一般方程，直線的斜率公式，用點斜式求直線方程，直線和圓相切的性質、點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．