Question

13．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$+x）+sin（π+x）sinx，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）設A，B，C是△ABC的三個內角，且f（$\frac{A}{2}$）=0，f（$\frac{B}{2}$）=$\frac{1}{10}$，求f（$\frac{C}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡，根據三角函數圖象與性質求得函數的最小正周期和單調增區(qū)間．
（2）根據題意分別求得sin（A+$\frac{π}{6}$）和sin（B+$\frac{π}{6}$）的值，進而求得cos（A+$\frac{π}{6}$）和cos（B+$\frac{π}{6}$）的值，利用兩角和公式求得sin（C+$\frac{π}{6}$），則f（$\frac{C}{2}$）的值可得．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴函數的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
當2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$時，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$時，k∈Z，函數單調增，
故函數的單調增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=0，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理f（$\frac{B}{2}$）=sin（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（A+B+$\frac{π}{3}$）=cos（A+$\frac{π}{6}$）cos（B+$\frac{π}{6}$）-sin（A+$\frac{π}{6}$）sin（B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
sin（C+$\frac{π}{6}$）=sin（π-A-B+$\frac{π}{2}$$-\frac{π}{3}$）=-cos（A+B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
∴f（$\frac{C}{2}$）=sin（C+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}-5}{10}$=-$\frac{2\sqrt{3}+1}{5}$．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．解題過程中注意公式的熟練運用．