Question

20．求函數(shù)y=lg[$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-1）tanx-tan²x]+$\sqrt{16-{x}^{2}}$的定義域．

Answer 1

分析 使函數(shù)y的解析式有意義，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}-（\sqrt{3}-1）tanx{-tan}^{2}x＞0}\\{16{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：∵函數(shù)y=lg[$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-1）tanx-tan²x]+$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}-（\sqrt{3}-1）tanx{-tan}^{2}x＞0}\\{16{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（tanx-1）（tanx+\sqrt{3}）＜0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}＜tanx＜1}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{3}+kπ＜x＜\frac{π}{4}+kπ，k∈Z}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得-4≤x＜-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{4}$，或$\frac{2π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{4}$；
∴函數(shù)y的定義域?yàn)?br />{x|-4≤x＜-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{4}$，或$\frac{2π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{4}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題利用函數(shù)的定義域，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，不等式的解法以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是綜合性題目．