Question

【題目】日照一中為了落實“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；

（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場地每平方米的造價為，草坪的每平方米的造價為（k為正常數）．設總造價T關于S的函數為T=f（S），試問：如何選取|AM|的長，才能使總造價T最低．

Answer 1

【答案】（1）（2）12米或18米

【解析】

試題（1）根據題意，分析可得，欲求健身場地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結合矩形的面積計算公式求出它們的面積即得，最后再根據二次函數的性質得出其范圍；

（2）對于（1）所列不等式，考慮到其中兩項之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．

解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°

∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分

矩形AMPN的面積S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分

于是200≤S≤225為所求．…6分

（2）矩形AMPN健身場地造價T1=37k…7分

又△ABC的面積為450，即草坪造價T2=S）…8分

由總造價T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分

∴T=25k（+），200≤S≤225

∵+≥12，…11分

當且僅當=即S=216時等號成立，…12分

此時x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，

所以選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低．…14分．