Question

19．已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12，那么拋物線C的方程為（　　）

• A． x²=8y
• B． x²=4y
• C． y²=8x
• D． y²=4x

Answer 1

分析 設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），與拋物線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），∴直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
由直線與拋物線方程聯(lián)立，得k²x²-（pk²+2p）x+$\frac{1}{4}$p²k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$p²，
 y₁•y₂=k（x₁-$\frac{p}{2}$）•k（x₂-$\frac{p}{2}$）=k²[x₁•x₂-$\frac{p}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{1}{4}$p²]=-p²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{1}{4}$p²-p²=-12，
∴p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x．
故選：C．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，進(jìn)而得解．