Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₅=8，a₁₀=18，三點(diǎn)（a₁，0）、（a₂，2）、（a₃，0）在圓C上，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：mx+ny+1=0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求m²+n²的最小值；
（Ⅲ）若一條動(dòng)直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且總有|OA|•|OB|=8，（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試探究直線AB是否恒與一個(gè)定圓相切，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₁=0，a₂=2，a₃=4，將三點(diǎn)（0，0），（2，2），（4，0）分別代入圓的一般方程，求出圓的方程為x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）由已知得n²=3m²+4m+1，由此利用函數(shù)的單調(diào)性求出當(dāng)m=-

1

3

時(shí)，（m²+n²）_min=

1

9

．
（Ⅲ）設(shè)∠AOB=θ，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD，知∠ACD=∠AOB=θ，CD⊥AB，在Rt△ACD中，|AD|=rsinθ=2sinθ，|AB|=2|AD|=4sinθ，由此能求出以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓恒與直線AB相切，圓的方程為x²+y²=4．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則5d=a₁₀-a₅=10，解得d=2，
∴a_n=a₅+（n-5）d=8+2（n-5）=2n-2，
解得a₁=0，a₂=2，a₃=4，
將三點(diǎn)（0，0），（2，2），（4，0）分別代入圓的一般方程：
x²+y²+Dx+Ey+F=0，得：

F=0 8+2D+2E+F=0 16+4D+F=0

，解得

D=-4 E=0 F=0

，
∴圓的方程為x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）由已知得

|2m+1|

m2+n2

=

4-3

，化簡(jiǎn)，得n²=3m²+4m+1，
∵n²≥0，∴（3m+1）（m+1）≥0，解得m≥-

1

3

，或m≤-1．
∵m²+n²=4m²+4m+1=（2m+1）²，m≥-

1

3

或m≤-1，
又4m²+4m+1在m≥-

1

3

單調(diào)增，在m≤-1單調(diào)減，
∴當(dāng)m=-

1

3

時(shí)，（m²+n²）_min=

1

9

．
（Ⅲ）設(shè)∠AOB=θ，取AB中點(diǎn)D，
連結(jié)CD，則可知∠ACD=∠AOB=θ，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，|AD|=rsinθ=2sinθ，
∴|AB|=2|AD|=4sinθ，
∵S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|sinθ
=

1

2

|AB|d，（d為點(diǎn)O到直線AB的距離）．
又|OA|•|OB|=8，解得d=2，
∵定點(diǎn)O到動(dòng)直線AB的距離d=2，
∴以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓恒與直線AB相切，圓的方程為x²+y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查最小值的求法，探究圓的方程量否存在及求法，解題時(shí)要注意數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、圓等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．