Question

6．對實數(shù)a、b定義運算a⊕b=$\frac{a+b}{1+ab}$，設定義域為R的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=2^x⊕2^x．
（1）討論f（x）在π∈（0，1）上的單調(diào)性；
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義，化簡函數(shù)的解析式，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及條件，求得函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）定義域為R的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=2^x⊕2^x =$\frac{2{•2}^{x}}{1{+2}^{2x}}$=$\frac{2}{\frac{1}{{2}^{x}}{+2}^{x}}$，
在（0，1）上，2^x∈（1，2），y=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2^x單調(diào)遞增，故f（x）單調(diào)遞減．
（2）設x＜0，則-x＞0，f（-x）=$\frac{2}{\frac{1}{{2}^{-x}}{+2}^{-x}}$=$\frac{2}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$=$\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}$=-f（x），
∴f（x）=-$\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}$．
再根據(jù)奇函數(shù)滿足f（0）=0，
可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}，x∈（0，1）}\\{0，x=0}\\{-\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查新定義，函數(shù)的奇偶性的應用，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．