Question

1．已知點P（-1，m）在直線l₁：ax+y+2a=0上，且圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線l₁對稱．
（1）求a、m的值；
（2）若過點P的直線l₂與圓C相切，求直線l₂的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線l₁對稱，則圓心（0，4）在直線l₁，可得a，
由點P（-1，m）在直線l₁ 得m；
（2）可設(shè)過點P的直線l₂的方程為：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
由過點P的直線l₂與圓C相切，即$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k

解答 解：（1）∵圓C：x²+y²-8y+12=0關(guān)于直線l₁對稱，
∴圓心（0，4）在直線l₁：ax+y+2a=0上，∴a=-2，
∴直線l₁：-2x+y-4=0，
∵已知點P（-1，m）在直線l₁：-2x+y-4=0上，∴m=2；
（2）由（1）得P（-1，2），
可設(shè)過點P的直線l₂的方程為：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
∵過點P的直線l₂與圓C相切，∴圓心到直線l₂的距離等于半徑，
又圓C：x²+y²-8y+12=0的圓心為（0，4），半徑為2
∴$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了圓的對稱性、圓的切線，屬于中檔題．