Question

【題目】已知橢圓： 的短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由短軸長(zhǎng)為，得，結(jié)合離心率及可得橢圓的方程；

（Ⅱ）“點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上”等價(jià)于“平分”，設(shè)出直線的方程為，可解出， 的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，分為當(dāng)軸時(shí)，即可求得的角平分線所在的直線方程，可得證，當(dāng)時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離可求出點(diǎn)到直線的距離，即可得結(jié)果.

試題解析：解：（Ⅰ）由題意得 解得， 所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）“點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上”等價(jià)于“平分”．

設(shè)直線的方程為，則．

設(shè)點(diǎn)，由得，得

① 當(dāng)軸時(shí)， ，此時(shí)．所以．

此時(shí)，點(diǎn)在的角平分線所在的直線或，即平分．

② 當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離

．

即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上．