【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（3）求證：．

【答案】（1）時，的單調遞增區(qū)間是，時，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）先求導函數(shù)數(shù)，利用，即可求函數(shù)的單調增區(qū)間，即可求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若對任意的恒成立，對 恒成立, 即可求實數(shù)的值；（3）要證原不等式成立，只需證：，即證： ，結合（2）利用裂項相消法求和，根據(jù)放縮法可證．

試題解析：解：（1），∴時，，在上單調遞增：時，時，單調遞減，時，單調遞增．

（2）由（1），時，，∴，即，

記．，∴在上增，在上遞減，∴，故，得．

（3）時，，時，，

時，．

由（2）可知，即，則時，，故，

即原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知圓的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．若直線與圓相交于不同的兩點，．

（Ⅰ）寫出圓的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；

（Ⅱ）若弦長，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的離心率，圓與直線相切，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點任作一直線交橢圓于兩點，記，若在線段上取一點,使得，試判斷當直線運動時，點是否在某一定直一上運動？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線（）.

（1）求直線經(jīng)過的定點坐標；

（2）若直線交負半軸于，交軸正半軸于，為坐標系原點，的面積為，求的最小值并求此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某制造廠商10月份生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機抽取個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：），將數(shù)據(jù)進行分組，得到如下頻率分布表：

（1）求、、及、的值，并畫出頻率分布直方圖（結果保留兩位小數(shù)）；

（2）已知標準乒乓球的直徑為，直徑誤差不超過的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有個，試估計其中五星乒乓球的數(shù)目；

（3）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是）作為代表，估計這批乒乓球直徑的平均值和中位數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市經(jīng)營一批產(chǎn)品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此產(chǎn)品在30天內的日銷售量P（件）與日期）之間滿足，已知第5日的銷售量為55件，第10日的銷售量為50件。

（1）求第20日的銷售量； （2）若銷售單價Q（元/件）與的關系式為，求日銷售額的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）若成績小于15秒認為良好，求該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

（2）請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數(shù)；

（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，公園有一塊邊長為的等邊的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中把草坪分成面積相等的兩部分，在上，在上．

（1）設（），，求用表示的函數(shù)關系式；

（2）如果是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，的位置應在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長，的位置又應在哪里？請說明理由．

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