Question

9．在x軸上有一定點A（a，0）及一異于點A的動點A′，在y軸上有一定點B（0，b）及一異于點B的動點B′（ab≠0），且A′B′∥AB．求證：直線A′B與AB′的交點在一條確定的直線上．

Answer 1

分析 通過直線平行轉化為向量共線，求出直線AB′，直線A′B的方程，消去參數k，可得兩條直線交點的軌跡方程，判斷即可．

解答 證明：∵A（a，0）、B（0，b）；∴$\overrightarrow{AB}$=（-a，b）
∵AB∥A′B′；∴$\overrightarrow{A′B′}$=（-ka，kb）（k≠1）
∴A′（ka，0）、B（0，kb）
則直線AB′：$\frac{x}{ka}$+$\frac{y}$=1…①
直線A′B：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{kb}$=1…②
聯立①②得：-$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=0；即y=$\frac{a}$x，
即直線A′B與直線AB′的交點在一條確定的直線y=$\frac{a}$ x．

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線方程的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．