Question

某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，全校學(xué)生參加了這次競(jìng)賽．為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問(wèn)題：
頻率分布表

組別	分組	頻數(shù)	頻率
第1組	[50，60）	8	0.16
第2組	[60，70）	a	▓
第3組	[70，80）	20	0.40
第4組	[80，90）	▓	0.08
第5組	[90，100]	2	b
	合計(jì)	▓	▓

（1）寫(xiě)出a，b，x，y的值；
（2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)的志愿宣傳活動(dòng)，求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率；
（3）在（2）的條件下，設(shè)ξ表示所抽取的2名同學(xué)中來(lái)自第5組的人數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用頻率=

頻數(shù)

樣本容量

×100%，及

頻率

組距

表示頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)即可求出a，b，x，y；
（2）由（1）可知第四組的人數(shù)，已知第五組的人數(shù)是2，利用組合的計(jì)算公式即可求出從這6人中任選2人的種數(shù)，再分兩類(lèi)分別求出所選的兩人來(lái)自同一組的情況，利用互斥事件的概率和古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（3）由（2）可知，ξ的可能取值為0，1，2，再利用組合的計(jì)算公式及古典概型的計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）由題意可知，樣本容量=

8

0.16

=50，∴b=

2

50

=0.04，
第四組的頻數(shù)=50×0.08=4，
∴a=50-8-20-2-4=16．
y=

0.04

10

=0.004，x=

16

50

×

1

10

=0.032．
∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．
（2）由（1）可知，第4組有4人，第5組有2人，共6人．
從競(jìng)賽成績(jī)是80分）以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)有

C

2 6

=15種情況．    
設(shè)事件A：隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組，則P(A)=

C 2 4 + C 2 2

C 2 6

=

7

15

．
所以，隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率是

7

15

． 
（3）由（2）可知，ξ的可能取值為0，1，2，
則P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
所以，ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

所以，Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握頻率=

頻數(shù)

樣本容量

×100%，及

頻率

組距

表示頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)、頻率之和等于1、互斥事件的概率、組合的計(jì)算公式及古典概型的計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．