Question

10．設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）化簡函數(shù)的解析式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）由不等式f（x）≥2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-5≥2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜4}\\{3x-3≥2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x+5≥2}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-7，解②求得 $\frac{5}{3}$≤x＜4，解③求得x≥4．
綜上可得不等式的解集為{x|x≤-7，或x≥$\frac{5}{3}$}．
（2）由于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}≤x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，故它的最小值為f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值；絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解，屬于基礎(chǔ)題．