Question

1．已知f（x）=-$\frac{1}{2}a{x^2}$+x-ln（1+x），其中a＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（3，f（3））處切線斜率為0，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數(shù)，直接利用函數(shù)f（x）在點（3，f（3））處切線斜率為0，求解即可．
（Ⅱ）令f′（x）=0，求出極值點，①當0＜a＜1時，②當a=1時，③當a＞1時，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），判斷0＜a＜1是否滿足題意，當a≥1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值為0時，求解a的取值范圍即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=$\frac{{-ax}^{2}-（a-1）x}{x+1}$，x∈（-1，+∞），
由f′（3）=0⇒a=$\frac{1}{4}$．                                           …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=$\frac{1}{a}$-1，
①當0＜a＜1時，x₁＜x₂，
f（x）與f′（x）的變化情況如下表

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（0）	↗	f（$\frac{1}{a}$-1）	↘

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$-1），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
②當a=1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）；
③當a＞1時，-1＜x₂＜0
f（x）與f′（x）的變化情況如下表

x	（-1，$\frac{1}{a}$-1）	$\frac{1}{a}$-1	（$\frac{1}{a}$-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（$\frac{1}{a}$-1）	↗	f（0）	↘

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，0），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
綜上，當0＜a＜1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$-1）．
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0），（$\frac{1}{a}$-1，+∞），
當a＞1，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，0）．
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1），（0，+∞）．
當a=1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）．               …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），
但f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合題意，
當a≥1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值為f（0）=0，符合題意，
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值為0時，a的取值范圍是a≥1．                   …（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的最值，考查分類分析問題解決問題的能力，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．