Question

11．△ABC中，已知AB=4，BC=5，AC=6，若點O是△ABC的外心，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$的值是18；若點G是△ABC的重心，則$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$的值是$\frac{33}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的定義得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=18，
（2）根據(jù)點G是△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$），COS∠BAC=$\frac{9}{16}$，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的值代入$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$即可．

解答 解：（1）∵△ABC中，已知AB=4，BC=5，AC=6，若點O是△ABC的外心，
∴根據(jù)向量的數(shù)量積的定義得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=18，

（2）∵△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，點G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$），COS∠BAC=$\frac{9}{16}$
$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=4×$6×\frac{9}{16}$=$\frac{27}{2}$，
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$═$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}×\frac{27}{2}$$+\frac{1}{3}×$36=$\frac{33}{2}$

故答案為：18；$\frac{33}{2}$．

點評 本題綜合考察平面向量的運算，結合幾何圖形的性質(zhì)，線段的關系確定向量之間的關系，再接數(shù)量積，三角形的定理求解，難度較大，屬于中檔題．