Question

19．已知圓O：x²+y²=2，過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線交圓O所得的弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且與x軸的交點(diǎn)為雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞2），雙曲線E的離心率為$\frac{3}{2}$．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，5）作動(dòng)直線l交雙曲線右支于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q異于M，N，且在線段MN上運(yùn)動(dòng)，并滿足關(guān)系$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$，試證明點(diǎn)Q恒在一條直線上．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到斜率k，再由c＞2，可得c=3，由離心率公式可得a=2，再由a，b，c的關(guān)系可得雙曲線方程；
（2）設(shè)出M，N，Q的坐標(biāo)，設(shè)$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$=λ，則$\overrightarrow{MP}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，利用向量法建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，1）的直線為y-1=k（x-1），
即為kx-y+1-k=0，
圓心O到直線的距離為d=$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由弦長(zhǎng)公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-hrxxb5j^{2}}=2\sqrt{2-bv57xvd^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得d=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，解得k=-2或-$\frac{1}{2}$．
則直線為y-1=-2（x-1），令y=0，則x=$\frac{3}{2}$＜2舍去，
或直線y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），令y=0，則x=3＞2成立，
即有c=3，
由離心率為為$\frac{3}{2}$．即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．解得a=2，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
則雙曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，5）作動(dòng)直線l交雙曲線右支于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
點(diǎn)Q（x，y），
則5x₁²-4y₁²=20，5x₂²-4y₂²=20，
∵$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$，
∴設(shè)$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|ON|}$=λ，則$\overrightarrow{MP}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，
則$\frac{{x}_{1}-λ{(lán)x}_{2}}{1-λ}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}}{1+λ}$=x，$\frac{{y}_{1}-λ{(lán)y}_{2}}{1-λ}$=5，$\frac{{y}_{1}+λ{(lán)y}_{2}}{1+λ}$=y，
則$\frac{{x}_{1}-λ{(lán)x}_{2}}{1-λ}$•$\frac{{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}}{1+λ}$=$\frac{4}{3}$x，$\frac{{y}_{1}-λ{(lán)y}_{2}}{1-λ}$•$\frac{{y}_{1}+λ{(lán)y}_{2}}{1+λ}$=5y，
即$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{4}{3}$x，$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=5y，
則5×$\frac{4}{3}$x-4×5y=$\frac{5{{x}_{1}}^{2}-5{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$-$\frac{4{{y}_{1}}^{2}-4{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{5{{x}_{1}}^{2}-4{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}（{{x}_{2}}^{2}-4{{y}_{2}}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$=$\frac{20-20{λ}^{2}}{1-{λ}^{2}}=20$，
即$\frac{4}{3}$x-4y=4，
即x-3y=3，
故x-3y-3=0，
故點(diǎn)Q恒在一條直線上x(chóng)-3y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．