Question

4．如圖，曲線C₁：x²=-4y，曲線C₂：x²+（y-m）²=1（m＞0），過曲線C₁上的一點(diǎn)P（2，-1）作曲線C₁的切線l，且l與C₂恰好相切，切點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）求曲線C₂與直線l的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)N為C₂上任意一異于Q的動(dòng)點(diǎn)，求△NPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線和圓相切，得到判別式△=0，解出k的值，從而求出直線l的方程，再根據(jù)直線l和c₂相切，得到距離d=1，從而求出c₂方程；
（Ⅱ）設(shè)出Q的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，求出Q的坐標(biāo)，從而求出|PQ|的長(zhǎng)，設(shè)d為點(diǎn)N到直線PQ的距離，則S_△NPQ=$\frac{|PQ|}{2}$d，顯然d的最大值為圓的直徑，即點(diǎn)N與點(diǎn)Q位于直徑的兩端，從而求出三角形面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：直線l的斜率顯然存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）-1}\\{{x}^{2}=-4y}\end{array}\right.$，消去y得x²+4kx-8k-4=0，
∴△=（4k）²-4（-8k-4）=0，解得：k=-1，
∴直線l的方程是：x+y-1=0，
又∵直線l與圓c₂相切，
∴d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{2}}$=1，解得：m=$\sqrt{2}$+1，或m=1-$\sqrt{2}$（舍去），
∴c₂的方程是x²+${[y-（\sqrt{2}+1）]}^{2}$=1；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{y-（1+\sqrt{2}）}{x}=1}\end{array}\right.$，解得：x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|=$\sqrt{{（2+\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+（-1-1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$+1，
設(shè)d為點(diǎn)N到直線PQ的距離，則S_△NPQ=$\frac{|PQ|}{2}$d，
顯然d的最大值為圓的直徑，即點(diǎn)N與點(diǎn)Q位于直徑的兩端，
∴△NPQ面積的最大值為：S_△NPQ=$\frac{|PQ|d}{2}$=$\frac{（1+2\sqrt{2}）×2}{2}$=2$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了求直線和曲線的方程問題，考察圓的切線問題，熟練掌握直線和圓的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)是解答問題的根本，本題是一道中檔題．