Question

7．曲線C上任意一點(diǎn)p與兩點(diǎn)（-2，0），（2，0）連線的斜率的乘積為-$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C 的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)M（1，1）的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且M點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程并求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）分別求出點(diǎn)P和兩點(diǎn)的斜率，根據(jù)題目條件列式求解．
（2）直線和橢圓聯(lián)立方程，利用中點(diǎn)公式求得斜率并利用弦長公式求得弦長．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P與（-2，0）的斜率為k₁=$\frac{y-0}{x+2}=\frac{y}{x+2}$
點(diǎn)P與（2，0）的斜率為${k}_{2}=\frac{y-0}{x-2}=\frac{y}{x-2}$，所以${k}_{1}{k}_{2}=\frac{y}{x+2}×\frac{y}{x-2}=\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=-\frac{1}{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，即曲線C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
（2）①∵點(diǎn)M（1，1）在圓內(nèi)，∴當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=1，但是M（1，1）不是AB中點(diǎn)，故不合題意．
②直線斜率存在，設(shè)直線方程為y=k（x-1）-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$整理得：（1+2k²）x²-4k（k+1）x+2（k+1）²-4=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}+4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2（k+1）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
∵M(jìn)點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，∴1=$\frac{2{k}^{2}+2k}{1+2{k}^{2}}$，解k=$\frac{1}{2}$．
∴直線方程為x-2y-2=0．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{{2}^{2}-3}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬常考題型，中檔題．