Question

16．在如圖所示的幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中點(diǎn)，AC與BD相交于N，DE=2AF=2BG=4
（Ⅰ）在FH上求一點(diǎn)P，使NP∥平面EFC；
（Ⅱ）求二面角E-FC-G的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）P為FH的中點(diǎn)R，證明四邊形MRNQ為平行四邊形，可得MQ∥NR，即可證明NP∥平面EFC；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，求出平面GFC的法向量、平面EFC的法向量，即可求二面角E-FC-G的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）分別取EF、FH、CF的中點(diǎn)M、R、Q，連接MR、MQ、NQ、NR，
則MR∥EH∥FA∥NQ且MR=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$FA=NQ
∴四邊形MRNQ為平行四邊形，
∴MQ∥NR
又MQ?平面EFC，NR?平面EFC，
∴NR∥平面EFC，即P為FH的中點(diǎn)R．…（5分）
（Ⅱ）分別以直線AB、AD、AF為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則G（4，0，2），F(xiàn)（0，0，2），C（4，4，0），E（0，4，4）
設(shè)平面GFC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{FG}$=（4，0，0），$\overrightarrow{CG}$=（0，-4，2）
則$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，令z=2得：$\overrightarrow{m}$=（0，1，2）
類似可得平面EFC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴二面角E-FC-G的余弦值為-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，二面角E-FC-G的余弦值、考查邏輯思維能力，空間想象能力，關(guān)鍵是求出平面的法向量．