Question

11．如圖，在直三棱柱ABA₁中，D₁C=$\sqrt{2}$a，DD₁=DA=DC=a，點(diǎn)E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)．
（1）證明：AF⊥ED₁；
（2）求點(diǎn)E到平面AFD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知得DD₁²+DC²=D₁C²，DD₁⊥DC．利用線面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD．于是DD₁⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可證明AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）設(shè)三棱錐D₁-AEF的體積為V，點(diǎn)E到平面AFD₁的距離為h，利用等體積即可得出．

解答 （1）證明：由已知得DD₁²+DC²=D₁C²，
∴DD₁⊥DC．
連接DE，由已知得AD⊥DD₁，又DD₁⊥DC，AD∩DC=D，∴DD₁⊥平面ABCD．
又AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF．
DA=DC=a，CE=DF=$\frac{1}{2}$a，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD₁∩DE=D，∴AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（2）解：設(shè)三棱錐D₁-AEF的體積為V，點(diǎn)E到平面AFD₁的距離為h，
V=$\frac{1}{3}×（{a}^{2}-2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×a-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a）×a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$，
D₁F=AF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AD₁=$\sqrt{2}$a，
過(guò)F作FG⊥AD₁于G，則FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，△AD₁F的面積S=$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}×h=\frac{1}{8}{a}^{3}$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、等體積法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．