【題目】已知函數f(x)=(x2﹣x﹣ )eax(a>0).
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)若存在唯一實數x0 , 使得f(x0)+ =0成立,求實數a的值.
【答案】
(1)解:函數y=f(x)的定義域為R,f′(x)=[ax2+(2﹣a)x﹣2]eax.
令f′(x)=0,得x=1,x=﹣ <0,
當x∈(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)時,f′(x)>0,當x∈(﹣v,1)時,f′(x)<0.
∴函數f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.
注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.
∴函數y=f(x)的最小值為f(1)=﹣
(2)解:存在唯一實數x0,使得f(x0)+ =0成立函數y=f(x)圖象與y=﹣ <(﹣ 0)有唯一交點,
結合(1)可得函數f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.
注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.
∴當且僅當﹣ 時,存在唯一實數x0,使得f(x0)+ =0成立,
即a=ln3時,存在唯一實數x0,使得f(x0)+ =0成立
【解析】(1)函數y=f(x)的定義域為R,f′(x)=[ax2+(2﹣a)x﹣2]eax . 利用導數可得函數f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.即函數y=f(x)的最小值為f(1)(2)存在唯一實數x0 , 使得f(x0)+ =0成立函數y=f(x)圖象與y=﹣ <(﹣ 0)有唯一交點,結合圖象且僅當﹣ 時,存在唯一實數x0 , 使得f(x0)+ =0成立,
即可求得實數a的值.
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數在內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x3﹣2x2﹣4x.
(1)求函數y=f(x)的單調區(qū)間;
(2)求函數f(x)在區(qū)間[﹣1,4]上的最大值和最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知位置向量 =(log2(m2+3m﹣8),log2(2m﹣2)), =(1,0),若以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB的頂點C在函數y= x的圖象上,則實數m= .
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【題目】為研究質量x(單位:g)對彈簧長度y(單位:cm)的影響,對不同質量的6根彈簧進行測量,得到如下數據:
x (g) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
y (cm) | 7.25 | 8.12 | 8.95 | 9.90 | 10.9 | 11.8 |
(1)畫出散點圖;
(2)如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近,求y與x之間的回歸方程. ( 其中 )
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數f′(x)在(a,b)內的圖象如圖所示,則函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極大值點( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量在1,2,3,…,24這24個整數中等可能隨機產生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率 (=1,2,3);
(Ⅱ)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出的值為 (=1,2,3)的頻數.以下是甲、乙所作頻數統(tǒng)計表的部分數據.
甲的頻數統(tǒng)計表(部分)
運行 次數n | 輸出y的值 為1的頻數 | 輸出y的值 為2的頻數 | 輸出y的值 為3的頻數 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 027 | 376 | 697 |
乙的頻數統(tǒng)計表(部分)
運行 次數n | 輸出y的值 為1的頻數 | 輸出y的值 為2的頻數 | 輸出y的值 為3的頻數 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 051 | 696 | 353 |
當n=2100時,根據表中的數據,分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為 (=1,2,3)的頻率(用分數表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
(Ⅲ)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出的值為2的次數ξ的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】盒子中有大小相同的球6個,其中標號為1的球2個,標號為2的球3個.標號為3的球1個,第一次從盒子中任取1個球,放回后第二次再任取1個球 (假設取到每個球的可能性都相同).記第一次與第二次取到球的標號之和為ξ.
(1)求隨機變量ξ的分布列:
(2)求隨機變量ξ的期望Eξ.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點,離心率為,分別是橢圓的上、下頂點,.
(1)求橢圓的方程;
(2)過作直線與交于兩點,求三角形面積的最大值(是坐標原點).
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